Question

如圖，正方體AC₁的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為點(diǎn)H．有下列四個(gè)命題：

 

A．點(diǎn)H是△A₁BD的垂心；
B．AH垂直平面CB₁D₁；
C．二面角C-B₁D₁-C₁的正切值為

2

；
D．點(diǎn)H到平面A₁B₁C₁D₁的距離為

3

4

其中真命題的代號(hào)是．（寫出所有真命題的代號(hào)）

Answer 1

分析：結(jié)合正方體圖形，逐一判斷選項(xiàng)，求得結(jié)果即可．

解答：解：因?yàn)槿�棱錐A-A₁BD是正三棱錐，故頂點(diǎn)A在底面的射映是底面中心，A正確；
面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁，B正確；
連接A₁C₁∩B₁D₁=O?∠COC₁即為二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，tanα=

1

2 2

=

2

，C正確；
對(duì)于D，連接AC₁，?AC₁⊥面A₁BD，故點(diǎn)H是AC₁
的三等分點(diǎn)，故點(diǎn)H到平面A₁B₁C₁D₁的距離為

2

3

×AA1=

2

3

．從而D錯(cuò)．
則應(yīng)填A(yù)BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角及其度量等知識(shí)，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．