【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的離心率為,右準(zhǔn)線方程為

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

已知斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在第三象限內(nèi)為橢圓C的上頂點(diǎn),記直線MA,MB的斜率分別為,

若直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且,求點(diǎn)A的坐標(biāo);

若直線l過(guò)點(diǎn),試探究是否為定值?若是,請(qǐng)求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)①;②為定值1.

【解析】

(1)由已知列關(guān)于a,c的方程組,求解可得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;

(2)①設(shè)Ax1,y1),M(0,1),由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知B(﹣x1,﹣y1),由點(diǎn)Ax1y1)在橢圓上,得到,求出k1k2,結(jié)合k1k2,可得k1=1,則直線MA的方程可求,再與橢圓方程聯(lián)立即可求得A的坐標(biāo);

②直線l過(guò)點(diǎn)(﹣2,﹣1),設(shè)其方程為y+1=kx+2),與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到k1+k2是定值.

(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,右準(zhǔn)線方程為,

所以,

解得.

又因?yàn)?/span>.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)設(shè),,為橢圓的上頂點(diǎn),則.

①因?yàn)橹本經(jīng)過(guò)原點(diǎn),由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即.

因?yàn)?/span>,.

所以.

所以,解得.

因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限內(nèi),所以,所以,則直線的方程為.

聯(lián)結(jié)方程組,解得,所以.

(解出,,也可根據(jù),求出點(diǎn)的坐標(biāo))

②直線過(guò)點(diǎn),設(shè)其方程為.

聯(lián)列方程組,消去可得(4k2+1)x2+8k(2k﹣1)x+16kk﹣1)=0.

當(dāng)時(shí),由韋達(dá)定理可知.

又因?yàn)?/span>

.

所以為定值1.

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