Question

【題目】已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=6x﹣2，數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn ， 點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求當(dāng) 對所有n∈N*都成立m取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，f（x）=3x2﹣2x，

∵點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的圖象上，

∴Sn=f（n）=3n2﹣2n，

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1=3（n﹣1）2﹣2（n﹣1），

兩式相減得：an=6n﹣5（n≥2），

又∵a1=S1=3﹣2=1滿足上式，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=6n﹣5

（2）解：由（1）可知 = = （ ﹣ ），

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）= ，

∵Tn= （1﹣ ）隨著n的增大而增大，

∴Tn≥T1= = ，

又∵ 對所有n∈N*都成立，

∴ ≥ ，解得：m≤

【解析】（1）通過圖象特征及導(dǎo)函數(shù)可知f（x）=3x2﹣2x，并代入點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*）整理可知Sn=3n2﹣2n，進(jìn)而與Sn﹣1=3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）（n≥2）作差，計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過（1）裂項(xiàng)可知bn= （ ﹣ ），進(jìn)而并項(xiàng)相加可知Tn= ，通過Tn= （1﹣ ）隨著n的增大而增大可知 ≥ ，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本求導(dǎo)法則對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)．