Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，E是PA的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面EBD；

（2）若PA=AB=2，直線PB與平面EBD所成角的正弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、面面垂直、向量法、線面角、四棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問，利用線面垂直的性質(zhì)得PA⊥BD，又因?yàn)锽D⊥PC，利用線面垂直的判定得到BD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面EBD；第二問，由于BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，得到ABCD為菱形，根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)的的坐標(biāo)，從而得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，用向量法求出平面EBD的一個(gè)法向量，再利用夾角公式列出等式，在中，列出一個(gè)等式，2個(gè)等式聯(lián)立，解出b和c的值，得到b和c即OB和OC邊長后，即可求出面ABCD的面積，而PA是錐體的高，利用錐體的體積公式求出四棱錐的體積.

試題解析：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，

因?yàn)锽D?平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD． 4分

（2）由（1）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，BC＝AB＝2． 5分

設(shè)AC∩BD＝O，建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)OB＝b，OC＝c，

則P(0，－c，2)，B(b，0，0)，E(0，－c，1)，C(0，c，0)．

，，．

設(shè)n＝(x，y，z)是面EBD的一個(gè)法向量，則，

即取n＝(0，1，c)． 8分

依題意，． ①

記直線PB與平面EBD所成的角為θ，由已知條件

． ②

解得，c＝1． 10分

所以四棱錐P-ABCD的體積

． 12分

考點(diǎn)：線面垂直、面面垂直、向量法、線面角、四棱錐的體積.