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二次函數f（x）=px2+qx+r中實數p、q、r滿足
p
m+2
+
q
m+1
+
r
m
=0，其中m＞0，求證：
（1）pf（
m
m+1
）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）內恒有解．
分析：（1）把x=
m
m+1
代入原函數，利用題設中p、q、r的關系進一步證明．
（2）先對p進行分類討論，再對r進行分類討論．
解答：證明：（1）pf（
m
m+1
）
=p[p（
m
m+1
）2+q（
m
m+1
）+r]
=pm[
pm
(m+1)2
+
q
m+1
+
r
m
]
=pm[
pm
(m+1)2
-
p
m+2
]
=p2m[
m(m+2)-(m+1)2
(m+1)2(m+2)
]
=p2m[-
1
(m+1)2(m+2)
]．
由于f（x）是二次函數，故p≠0．
又m＞0，所以pf（
m
m+1
）＜0．
（2）由題意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r．
①當p＞0時，由（1）知f（
m
m+1
）＜0．
若r＞0，則f（0）＞0，又f（
m
m+1
）＜0，
∴f（x）=0在（0，
m
m+1
）內有解；
若r≤0，則f（1）=p+q+r=p+（m+1）（-
p
m+2
-
r
m
）+r=
p
m+2
-
r
m
＞0，
又f（
m
m+1
）＜0，
所以f（x）=0在（
m
m+1
，1）內有解．
因此方程f（x）=0在（0，1）內恒有解．
②當p＜0時，同樣可以證得結論．
點評：（1）題目點明是“二次函數”，這就暗示著二次項系數p≠0，若將題中的“二次”兩個字去掉，所證結論相應更改．
（2）對字母p、r分類時先對哪個分類是有一定講究的．本題的證明中，先對p分類，然后對r分類顯然是比較好的．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax2-4bx+1．
（1）設集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率；
（2）設點（a，b）是區(qū)域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
內的隨機點，求y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率．

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（1）求f（x）的解析表達式；
（2）設t＞0，曲線C：y=f（x）在點P（t，f（t））處的切線為l，l與坐標軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最小值．

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（2）求函數g（x）=f（|x|）的單調遞增區(qū)間．

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（1）求證：y=f（x）的圖象恒過定點P，Q；
（2）若y=f（x）的最小值為0，求實數a的值．

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