Question

【題目】已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若，求在上的極大值點(diǎn)；

（2）（）證明在上單調(diào)遞增；

（）求關(guān)于的方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）證明見解析，（）當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)的極大值點(diǎn).

（2）（）首先根據(jù)的單調(diào)性只需證明，將問題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合的單調(diào)性即可證明.（ii）首先證明，再證明函數(shù)的最大值，設(shè)，分別求出和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到方程解得個(gè)數(shù).

（1）.

當(dāng)時(shí)，.

	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為.

（2）（）因?yàn)?/span>，所以在上必存在唯一的實(shí)數(shù)，使得.

所以，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù).

要證明在上單調(diào)遞增，只需證明即可.

又因?yàn)?/span>，所以，

即證即可.

設(shè)，，所以在為減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，，即，

即證，

所以在上單調(diào)遞增.

（）先證明時(shí)，.

設(shè)，，，

因?yàn)?/span>，所以，在為增函數(shù).

所以，即.

再證明函數(shù)的最大值.

因?yàn)?/span>，所以，.

因?yàn)?/span>，所以.

所以.

下面證，令，則，

即證，，，.

設(shè)，，

所以函數(shù)為增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，即.

即證：.

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，，

且在為減函數(shù)，所以在上有唯一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，，且在為增函數(shù).

①當(dāng)時(shí)，，即，所以在上沒有零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，，即，所以在上有唯一零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，方程在上的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.