Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x＞0}，滿足：對(duì)于任意m，n∈D，都有f（mn）=f（m）+f（n），且f（2）=1．
（1）求f（4）的值；（2）如果f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中對(duì)于任意m，n∈D，都有f（mn）=f（m）+f（n），且f（2）=1，令m=n=2，易求出f（4）的值；
（2）結(jié)合（1）中f（2）=1，f（4）=2及f（mn）=f（m）+f（n），可得f（8）=3，結(jié)合f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，可將不等式f（2x-6）≤3轉(zhuǎn)化為不等式組

2x-6＞0 2x-6≤8

解不等式組，即可得到答案．

解答：解：（1）∵對(duì)于任意m，n∈D，都有f（mn）=f（m）+f（n），且f（2）=1
令m=n=2
則f（4）=f（2）+f（2）=2，
（2）∵f（2）=1，f（4）=2
∴f（8）=f（2）+f（4）=3，
又∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（2x-6）≤3成立時(shí)，x滿足

2x-6＞0 2x-6≤8

解得：3＜x≤7
即滿足條件的x的取值范圍為3＜x≤7

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，利用湊配法，求出f（4）=2，f（8）=3等，是解答本題的關(guān)鍵．