Question

在120°的二面角P-a-Q的兩個面P和Q內，分別有點A和點B 已知點A和點B到棱a的距離分別為2和4，且線段AB=10，
（1）求直線AB和棱a所成的角；
（2）求直線AB和平面Q所成的角．

Answer 1

解：（1）在平面P內作直線AD⊥a于點D，在平面Q內，作直線BE⊥a于點E，
從點D作a的垂線與從點B作a的平行線相交于點C．
∴∠ABC等于AB和a所成的角，
∠ADC為兩面角P-a-Q的平面角，
∴∠ADC=120°，
又AD=2，BCDE為矩形，∴CD=BE=4．
連接AC，由余弦定理得AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=2²+4²-2×2×4×cos120°=28．
∴．
又∵AD⊥a，CD⊥a，∴a⊥平面ACD，
∵BC∥a，∴BC⊥平面ACD，
∴BC⊥AC．
在直角△ABC中，，
∴．
（2）在△ACD所在的平面內，作AF⊥CD交CD的延長線于點F．
∵平面ACD⊥平面Q，∴AF⊥平面Q．
在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，∴AF=．
連接BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，
在△ABF為直角三角形，
∴．
分析：（1）如圖所示，在平面P內作直線AD⊥a于點D，在平面Q內，作直線BE⊥a于點E，過點D作DC⊥a，與從點B作CB∥a相交于點C．∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC為兩面角P-a-Q的平面角，
利用余弦定理即可得到AC，由a⊥平面ACD，BC∥a即可得到BC⊥平面ACD，在直角△ABC中求出sin∠ABC即可；
（2）在△ACD所在的平面內，作AF⊥CD交CD的延長線于點F，利用面面垂直的性質即可證明AF⊥平面Q，從而得到∠ABF是直線AB和平面Q所成的角．
點評：熟練掌握線面與面面垂直的判定和性質定理、線面角、異面直線所成的角、余弦定理及常作的輔助線是解題的關鍵．