(1)設(shè)l1、l2是兩條異面直線，其公垂線段AB上的單位向量為n,又C、D分別是l1、l2上任意一點(diǎn)，求證：||=|·n|;

(2)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求體對(duì)角線BD1與面對(duì)角線B1C的距離.?

(1)證明：∵n=,

∴·n=(++)·.

由于CA⊥AB，BD⊥AB,?

∴·=0, ·=0.

因此·n===|AB|.

 (2)解析：先找一個(gè)向量n,它既與BD1垂直，又與B1C垂直.設(shè)n=+λ+μ,其中λ、μ為待定的數(shù).?

由n·=(+λ+μ)·(++)=·+λ·+μ·=-a2-λa2+μa2=-a2(1+λ-μ)=0,?

∴1+λ-μ=0.?

又由n·=(+λ+μ)·(+)=·+μ·=-a2-μa2=0,∴1+μ=0.

于是解得μ=-1,λ=-2.

∴n=-2-,

|n|=

= =a.

又BC是連結(jié)這兩條異面直線BD1與B1C上的任意點(diǎn)的線段，由第(1)題知所求距離

d= = = = = =a.

溫馨提示：(1)在以上推導(dǎo)中，我們已暗中假定了n的方向是由l1上的點(diǎn)A指向l2上的點(diǎn)B，而的方向也是由l1上的點(diǎn)C指向l2上的點(diǎn)D，這樣求得·n是正值.如果n指向與指向不同，則·n是負(fù)值，所以一般地就寫成||=|·n|.又如果n不是單位向量，則||=.

(2) 、、有著基底的作用，我們將BD1與B1C的公垂線段向量n用這組基底來表示.因?yàn)橄嗖钜粋�(gè)常數(shù)因子不影響其公垂性，所以設(shè)定了n=+λ+μ，使其只含有兩個(gè)待定常數(shù)，這樣就方便多了.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P（2，
3
），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)l1，l2是過點(diǎn)G（
3
2
，0）且互相垂直的兩條直線，l1交E于A，B兩點(diǎn)，l2交E于C，D兩點(diǎn)，求l1的斜率k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，試問直線MN是否恒過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P（2，
3
），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)l1，l2是過點(diǎn)G（
3
2
，0）且互相垂直的兩條直線，l1交E于A、B兩點(diǎn)，l2交E于C、D兩點(diǎn)，求l1的斜率k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線OM與直線ON的斜率之積為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(1)設(shè)l1、l2是兩條異面直線，其公垂線段AB上的單位向量為n,又C、D分別是l1、l2上任意一點(diǎn)，求證：;

(2)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求體對(duì)角線BD1與面對(duì)角線B1C的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(1)設(shè)l1、l2是兩條異面直線，其公垂線段AB上的單位向量為n,又C、D分別是l1、l2上任意一點(diǎn)，求證：

(2)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求體對(duì)角線BD1與面對(duì)角線B1C的距離.

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