已知四棱錐的底面是平行四邊形,,,
.若中點,為線段上的點,且
(1)求證:平面;
(2)求PC與平面PAD所成角的正弦值.

 
(1)詳見解析;(2)

試題分析:(1)連結(jié)BD交AC于O,取PF中點G,連結(jié)OF,BG,EG,利用EO,EG分別為BG,F(xiàn)C的中位線,得到它們對應(yīng)平行,進而得到平面BEG與平面ACF平行,再由面面平行的性質(zhì)得到線面平行.
(2)要求線面角,需要先找到線面角的代表角,即過C點做面PAD的垂線,因為PA垂直于底面,所以過C作線段AD的垂線與AD交于H,則CH垂直于面PAD,所以角CPH即為線面角的代表角,要求該角的正弦值,就需要求出PC與CH,可以利用△PAC和△ACH為直角三角形通過勾股定理求出,進而得到線面角的正弦值.
解:(1)證明1:連接BD交AC于點O,取中點,連接、

因為、分別是、的中點, 所以,      
又         ,所以             2分
因為、分別是、的中點,
所以,同理可得        4分
 所以,平面平面
又因為平面,故平面.      6分
證明2:作AH垂直BC交BC于H
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,

令A(yù)D=PA=2,則AB=1
所以
中點, 所以     2分
設(shè)面AFC的一個法向量,又
,
所以 
      4分
所以
所以  故平面.                              6分
(2)解1:因為,,所以
過C作AD的垂線,垂足為H,則,,所以平面PAD.
為PC與平面PAD所成的角.                  9分
設(shè),則,,,
所以,即為所求.                 12分
解2:作AH垂直BC交BC于H,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,

令A(yù)D=PA=2,則AB=1,所以          8分
因為,所以面PCD的一個法向量為       10分
令PC與平面PAD所成的角為,則
故PC與平面PAD所成角的正弦值為.    12分.
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