函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且當x＞0時有f（x）＞0、
（1）求證：f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若f（1）=1，解不等式f[log2（x2-x-2）]＜2．
【答案】分析：（1）利用單調性的定義證明，任取x1、x2∈R，且x1＜x2，證明即f（x1）＜f（x2），即可；
（2）先將原不等式化成f[log2（x2-x-2）]＜f（2），再利用（1）的結論脫“f”符號轉化為對數(shù)不等式解之即可．
解答：解：（1）證明：設x2＞x1，則x2-x1＞0、
∵f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+
f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)
（2）∵f（1）=1，∴2=1+1=f（1）+f（1）=f（2）
又f[log2（x2-x-2）]＜2，∴f[log2（x2-x-2）]＜f（2）
∴l(xiāng)og2（x2-x-2）＜2，于是
∴即-2＜x＜-1或2＜x＜3
∴原不等式的解集為{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N*，試求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2時，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函，下面四個函數(shù)：
①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=
xx2+x+1
．
其中屬于有界泛函的是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函數(shù)，下面四個函數(shù)：①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f(x)=
x
x2+x+1

其中屬于有界泛函數(shù)的是（　�。�
A、①②B、①③C、③④D、②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）對任意的正實數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，則一定正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”，
（1）判斷g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；
（2）若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
，設yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|＜
1
4
．

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