Question

（2006•石景山區(qū)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，

PA

2=

AC

2=4

AB

2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點(diǎn)，設(shè)

| PM|

|PC |

=λ，問λ為何值時(shí)能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大�。�

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量垂直的充要條件可得PA⊥AB，AB⊥AC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）方法一：由（I）知PC⊥AB，由等腰三角形三線合一得AM⊥PC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí)，即λ=

1

2

時(shí)，直線PC⊥平面MAB
方法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的充要條件及線面垂直的判定定理可得當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí)，即λ=

1

2

時(shí)，直線PC⊥平面MAB
（III）方法一：過A作AF⊥MB于F，過F作FE⊥PB于E，連結(jié)AE，由三垂線定理可知，∠AEF為二面角C-PB-A的平面角．解三角形可得答案；
方法二：求出平面BAP法向量和平面PBC的法向量．代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵

PA

•

AB

=

PA

•

AC

=

AB

•

AC

=0，
∴PA⊥AB，AB⊥AC，
∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
∴AB⊥平面PAC．                         　    …（3分）
方法一：（Ⅱ）當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí)，即λ=

1

2

時(shí)，直線PC⊥平面MAB，…（4分）
證明如下：
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAC，PC?平面APC，
∴PC⊥AB，…（5分）
在等腰△CAP中，
∵M(jìn)為PC中點(diǎn)，
∴AM⊥PC，…（6分）
又∵BA∩AM=A，BA，AM?平面MAB
∴PC⊥平面MAB．                                　   …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面MAB，
∵PC?平面PBC，
∴平面PCB⊥平面MAB．                         …（9分）
過A作AF⊥MB于F，
∴AF⊥平面PBC
作FE⊥PB于E，連結(jié)AE，由三垂線定理可知，AE⊥PB．
∴∠AEF為二面角C-PB-A的平面角．            …（11分）
設(shè)AB=a，則AC=AP=2a．
在Rt△PAC中，AM=

2

a，
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAC，AM?平面APC，
∴AB⊥AM．
在Rt△BAM中，BM²=AB²+AM²⇒BM=

a2+2a2

=

3

a．
由面積公式得BM•AF=AB•AM，AF=

2

3

a，…（12分）
同理，在Rt△BAP中，BP=

5

a，由面積公式得AE=

2

5

a，…（13分）
在Rt△AFE中，sin∠AEF=

AF

AE

=

30

6

．
所以二面角C-PB-A的大小為arcsin

30

6

．        …（14分）
方法二：
（Ⅰ）同方法一．                                       　     …（3分）
（Ⅱ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)AP=2，則P（0，0，2），A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，1，0），…（4分）
當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí)，即λ=

1

2

時(shí)，直線PC⊥平面MAB．    …（5分）
證明如下：
當(dāng)M為PC中點(diǎn)時(shí)，M（1，0，1）．

PC

=(2，0，-2)，

AM

=(1，0，1)，

MB

=(-1，1，-1)．

PC

•

AM

=2×1+0×0+(-2)×1=0，
∴

PC

⊥

AM

，即PC⊥AM．                           …（6分）

PC

•

MB

=2×(-1)+0×1+(-2)×(-1)=0，
∴

PC

⊥

MB

，即PC⊥BM．                            …（7分）
又∵AM∩BM=M，
∴PC⊥平面AMB．                 …（8分）
（Ⅲ）可證CA⊥平面BAP．
則平面BAP法向量為

n1

=(2，0，0)，…（9分）
下面求平面PBC的法向量．
設(shè)平面PBC的法向量為

n2

=(x，y，z)，

PC

=(2，0，-2)，

CB

=(-2，1，0)，

2x+0-2z=0 -2x+y+0=0

⇒

n2

=(z，2z，z)，
令z=1，則

n2

=(1，2，1)，…（12分）
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 |•| n2 |

=

2

2× 6

=

6

6

．
所以二面角C-PB-A的大小為arccos

6

6

．           …（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，線面垂直的證明，解法一的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，解法二的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間線面垂直及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量垂直和夾角問題．