Question

在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（ 結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X=0或X=1時(shí)，油罐不能被引爆．
P(X=0)=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P(X=1)=

C

15

×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
∴油罐被引爆的概率P=1-P(X=0)-P(X=1)=

232

243

．…(6分)
（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．
P(ξ=2)=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P(ξ=3)=

C

12

×

2

3

(1-

2

3

)×

2

3

=

8

27

，
P(ξ=4)=

C

13

×

2

3

(1-

2

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）
=1-(

4

9

+

8

27

+

4

27

)=

1

9

．
因此，ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

∴Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．…(14分)