Question

【題目】已知.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)分和兩種情況，分析在上的符號(hào)，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，且有，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2），即，得，

又，不等式兩邊同時(shí)除以，得，即.

易知，由題意可知對(duì)任意的恒成立，.

①若，則當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，

此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不合乎題意；

②若，對(duì)于方程.

（i）當(dāng)時(shí)，即，恒成立，

此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，合乎題意；

（ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

設(shè)方程的兩個(gè)不等實(shí)根分別為、，且，

則，，所以，，，.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，不合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.