Question

【題目】已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若， ，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，把斜率之積用坐標(biāo)表示出來(lái)化簡(jiǎn)可得的方程（注意有些點(diǎn)不合要求）；

（Ⅱ）解析幾何中的定值問(wèn)題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.由，可求得，并代入曲線的方程，得的方程，同理得的方程，這樣發(fā)現(xiàn)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由已知得，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程: .

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

由，所以，

所以

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以 ，

化簡(jiǎn)得 ①，

同理，由可得： ，

代入曲線的方程得 ②，

由①②得是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(△>0)，

所以.