Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發(fā)建設，陰影部分為一公共設施建設不能開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設施邊界為曲線f(x)=1-

4

3

x2的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M，N，交曲線于點P，則△OMN（O為坐標原點）的面積的最小值為

2

3

．

Answer 1

分析：求導函數，設出P的坐標，確定過點P的切線方程，進而可得M，N的坐標，表示出三角形的面積，利用導數法，即可確定△OMN（O為坐標原點）的面積的最小值．

解答：解：求導函數，可得f′(x)=-

8

3

x
設P（m，1-

4

3

m2）（m＞0），則過點P的切線方程為y-（1-

4

3

m2）=-

8

3

m×（x-m）
令y=0，則x=

m

2

+

3

8m

，令x=0，則y=1+

4

3

m2
∴△OMN（O為坐標原點）的面積為S=

3(1+ 4 3 m2)2

16m

=

3

16

(

1

m

+

8

3

m+

16

9

m3)
求導函數可得S′=

3

16

(-

1

m2

+

8

3

+

16

3

m2)
令S′=0，可得16m⁴+8m²-3=0
∴m=

1

2

∴m＞

1

2

時，函數單調增，0＜m＜

1

2

時，函數單調減
∴m=

1

2

時，函數取得極小值且為最小值，最小值為

2

3

故答案為：

2

3

．

點評：本題考查導數知識的運用，解題的關鍵是確定切線方程，求出三角形的面積，利用導數法求最值，屬于中檔題．