Question

已知直線ax+by+c=0與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，且|AB|=

3

，以A，B為切點的兩條切線的夾角為

π

3

．

Answer 1

分析：取AB的中點C，連接OC，|利用圓的切線性質(zhì)求出∠AOB的大小，設兩切線的交點為N，再根據(jù)四邊形OANB為圓內(nèi)接四邊形，可得∠AOB 與∠ANB互補，由此求得∠ANB的值．

解答：解：取AB的中點C，連接OC，|AB|=

3

，則|AC|=

3

2

，|OA|=1，故sin∠AOC=

AC

OA

=

3

2

，
∴∠AOC=

π

3

，
∴∠AOB=

2π

3

．
設兩切線的交點為N，再由圓的切線性質(zhì)可得，四邊形OANB為圓內(nèi)接四邊形，故∠AOB 與∠ANB互補，
∴∠ANB=π-

2π

3

=

π

3

，
故答案為

π

3

．

點評：本題主要考查了直線和圓的方程的應用，以及向量的數(shù)量積公式的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．