Question

【題目】如圖，在底面邊長為，側棱長為的正四棱柱中，是側棱上的一點，.

（1）若，求異面直線與所成角的余弦；

（2）是否存在實數(shù)，使直線與平面所成角的正弦值是？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，

【解析】

（1）采用建系法進行求解；

（2）假設存在實數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值是，則用向量法表示出，再求得平面的法向量為，結合夾角公式即可求得；

解：（1）建立空間直角坐標系，則，，，，，，.

所以，.

，即異面直線與所成角的余弦是.

（2）假設存在實數(shù)，使直線與平面所成的角的正弦值等于，則

，，.

設平面的法向量為，

則由，得，取，得平面的法向量為.

由直線與平面所成的角的正弦值等于，得

，解得，因為，所以滿足條件，

所以當時，直線與平面所成的角的正弦值等于.