Question

數(shù)列a_n的首項為a（a＞0），它的前n項的和是S_n．
（1）若數(shù)列a_n是等差數(shù)列，公差為d，d≠0，且數(shù)列也是等差數(shù)列，①求d；②求證：∑_i=1ⁿ＜．
（2）數(shù)列S_n是公比為q的等比數(shù)列，且q≠1，不等式S_n．≥ka_n對任意正整數(shù)n都成立，求k的值或k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①則由是等差數(shù)列知，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）²，由此能求出d．
②由，能導出．
（2）依題意S₁=a₁=a，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2（q-1），所以：a_n={，由此進行曲分類討論知q＜0時，；0＜q＜1時，；q＞1時，k≤1．
解答：解：（1）①則由是等差數(shù)列知：，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）²，
又d≠0，所以d=a，（3分）
當d=a時，a_n=na，，，是等差數(shù)列，（4分）
②，（6分）
所以，（8分）
（2）依題意S₁=a₁=a，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2（q-1），
所以：a_n={（10分）
當n=1時，S₁≥ka₁，由a＞0知，k≤1；（11分）
當n≥2時，S_n≥ka_n，即aq^n-1≥kaq^n-2（q-1），
①若q＞1，則，因為，所以此時k≤1；
②若0＜q＜1，則，因為，所以此時；
③若q＜0，n為奇數(shù)時，q^n-2＜0，同時q-1＜0，
不等式S_n≥ka_n的解是，n為偶數(shù)時，q^n-2＞0，同時q-1＜0，不等式S_n≥ka_n的解是，
要使S_n≥ka_n對任意大于1的正整數(shù)恒成立，只有又適合要求，
綜上可得：q＜0時，；0＜q＜1時，；q＞1時，k≤1．（16分）
點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，合理挖掘題設中的隱含條件，注意不等式的合理運用．