Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，證明：

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間為（-1，0），遞增區(qū)間為（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導函數(shù)，由是函數(shù)的極值點可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.

（2）當時，.代入函數(shù)解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數(shù)的最小值，由對數(shù)式變形化簡可證明，即成立，原不等式得證.

（1）函數(shù)

可求得，則

解得

所以，定義域為

，

在單調(diào)遞增，而，

∴當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

此時是函數(shù)的極小值點，

的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為

（2）證明：當時，

，

因此要證當時，，

只需證明，

即

令，

則，

在是單調(diào)遞增，

而，

∴存在唯一的，使得，

當，單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增，

因此當時，函數(shù)取得最小值，

，

，

故，

從而，即，結(jié)論成立.