Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若a＝0時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)在x＝1時取極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為m，試求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為(1，)（2）（3）2

【解析】

（1）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

（2）求導(dǎo)，討論，，或，幾種情況，分別計算函數(shù)極值得到答案.

（3）考慮，兩種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算極值判斷零點(diǎn)個數(shù)，得到答案.

（1）當(dāng)a＝0時，，所以，由得x＝1，

當(dāng)x(0，1)時，＜0；當(dāng)x(1，)時，＞0，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(1，).

（2）由題意得，

令(x＞0)，則，

當(dāng)≥0即時，＞0恒成立，

故在(0，1)上遞減，在(1，+)上遞增，所以x＝1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不滿足；

當(dāng)即時，此時＞0恒成立，

在(0，1)上遞減，在(1，+)上遞增，所以x＝1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不滿足；

當(dāng)即或時，

在(0，1)上遞減，在(1，+)上遞增，所以x＝1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不滿足；

當(dāng)時，解得或（舍），

當(dāng)時，設(shè)的兩個零點(diǎn)為，，所以＝1，不妨設(shè)0＜＜，

又，所以0＜＜1＜，故，

當(dāng)x(0，)時，＜0；當(dāng)x(，1)時，＞0；當(dāng)x(1，)時，＜0；當(dāng)x(，)時，＞0；

∴在(0，)上遞減，在(，1)上遞增，在(1，)上遞減，在(，)上遞增；

所以x＝1是函數(shù)極大值點(diǎn)，滿足.

綜上所述：.

（3）①由（2）知當(dāng)時，函數(shù)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)至多有兩個零點(diǎn)，欲使有兩個零點(diǎn)，需，得，

；

，，

故滿足函數(shù)有2個零點(diǎn).

②當(dāng)時，由（2）知在(0，)上遞減，在(，1)上遞增，在(1，)上遞減，在(，)上遞增；

而0＜＜1，所以，

此時函數(shù)也至多有兩個零點(diǎn)

綜上①②所述，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)m的最大值為2.