Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)（）.

（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）是否存在正整數(shù)，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在符合要求的正整數(shù)，且其最大值為11.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）是與的等差中項(xiàng)，可得到，（），證明數(shù)列為等比數(shù)列；只需證明為一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)即可，這很容易證出；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由（Ⅰ）可得，即，這樣問題轉(zhuǎn)化為已知求，利用時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，值得注意的是，用此法求出的需驗(yàn)證時(shí)，是否符合，若不符合，須寫成分段形式；（Ⅲ）是否存在正整數(shù)，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由，這是一個(gè)探索性命題，解此類題往往先假設(shè)其成立，作為條件若能求出的范圍，就存在正整數(shù)，使不等式（）恒成立，若求不出的范圍，就不存在正整數(shù)，使不等式（）恒成立，此題為奇數(shù)時(shí)，對任意正整數(shù)不等式恒成立；只需討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可解得，，所以存在符合要求的正整數(shù)，且其最大值為11.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121809265343637273/SYS201312180928020145622327_DA.files/image026.png">是與的等差中項(xiàng)，所以（），即，（），由此得（），又，所以 （），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即（）， 所以，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，也適合上式， 所以. 

（Ⅲ） 原問題等價(jià)于（）恒成立.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對任意正整數(shù)不等式恒成立；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，等價(jià)于恒成立，令，，則等價(jià)于恒成立， 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121809265343637273/SYS201312180928020145622327_DA.files/image002.png">為正整數(shù)，故只須，解得，，所以存在符合要求的正整數(shù)，且其最大值為11.

考點(diǎn)：等差中項(xiàng)，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，由數(shù)列的前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.