Question

已知在二項(xiàng)式（1-x²）²⁰的展開式中，第4r項(xiàng)和第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．
（1）求r的值；
（2）寫出展開式中的第4r項(xiàng)和第r+2項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二次展開式的通項(xiàng)公式求出第4r項(xiàng)和第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，列出方程，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出r；
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出T_4r與T_r+2．

解答：解：（1）∵

C

4r-1 20

=

C

r+1 20

，
∴4r-1+r+1=20，或4r-1=r+1（舍去），
∴r=4；
（2）由（1）知r=4，4r=16，r+2=6，
∴T₁₆=

C

15 20

•（-x²）¹⁵=-

C

15 20

•x³⁰=-15504x³⁰；
T₆=

C

5 20

•（-x²）⁵=-

C

5 20

•x¹⁰=-15504x¹⁰．

點(diǎn)評：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式是的特定項(xiàng)問題、考查組合數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．