Question

已知圓C：x²+y²=16，點(diǎn)P（3，

7

）．
（1）求以點(diǎn)P（3，

7

）為切點(diǎn)的圓C的切線所在的直線方程；
（2）求過點(diǎn)P（2，3）且被圓C：x²+y²=16截得弦長為2

7

的直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，由此利用直線的斜率公式求出切線的斜率，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式方程列式，化簡即可得出所求切線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P（2，3）的直線為y-3=m（x-2），根據(jù)垂徑定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出圓心到直線的距離等于3，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于m的方程，解出m的值，即可求出所求直線的方程．

解答：解：（1）設(shè)以點(diǎn)P（3，

7

）為切點(diǎn)的切線斜率為k，
∵切點(diǎn)所在的半徑OP的斜率為kOP=

7 -0

3-0

=

7

3

，
∴切線的斜率k=

-1

kOP

=-

3 7

7

，
可得切線的方程為y-

7

=-

3 7

7

（x-3），化簡得3x+

7

y-16=0；
（2）設(shè)過點(diǎn)P（2，3）的直線為y-3=m（x-2），即mx-y-2m+3=0
∵圓C：x²+y²=16的圓心為原點(diǎn)，半徑r=4
∴設(shè)弦長為2

7

的直線到圓心的距離為d，可得d=

r2-7

=3
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得

|-2m+3|

m2+1

=3，解之得m=0或m=-

12

5

∴所求直線方程為y=3或y-3=-

12

5

（x-2），化簡得y=3或12x+5y-39=0．

點(diǎn)評：本題著重考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．