Question

水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V(t)=

(-t2+14t-40)e 1 4 x+50 0＜t≤10 4(t-10)(3t-41)+50 10＜t≤12

（Ⅰ）該水庫(kù)的蓄求量小于50的時(shí)期稱(chēng)為枯水期．以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取e=2.7計(jì)算）．

Answer 1

分析：（1）分段求出水庫(kù)的蓄求量小于50時(shí)x的取值范圍，注意實(shí)際問(wèn)題x要取整．
（2）一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量肯定不在枯水期，則V（t）的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上研究V（t）的最大值，最后注意作答．

解答：解：（Ⅰ）①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，V(t)=(-t2+14t-40)e

1

4

x+50＜50，化簡(jiǎn)得t²-14t+40＞0，
解得t＜4，或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．
②當(dāng)10＜t≤12時(shí)，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，化簡(jiǎn)得（t-10）（3t-41）＜0，
解得10＜t＜

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3

，又10＜t≤12，故10＜t≤12．
綜合得0＜t＜4，或10＜t≤12；
故知枯水期為1月，2月，3月，4，11月，12月共6個(gè)月．
（Ⅱ）（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到．
由V′（t）=e

1

4

t(-

1

4

t2+

3

2

t+4)=-

1

4

e

1

4

t(t+2)(t-8)，
令V′（t）=0，解得t=8（t=-2舍去）．
當(dāng)t變化時(shí)，V′（t）與V（t）的變化情況如下表：

由上表，V（t）在t=8時(shí)取得最大值V（8）=8e²+50=108.32（億立方米）．
故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力．