Question

設(shè)不等式（2log

1

2

x+3）（log

1

2

x+3）≤0 的解集為M，求集合M 并求當(dāng)x∈M時(shí)函數(shù)f（x）=（log₂

x

2

）（log₂

x

8

）的最小值．

Answer 1

分析：利用一元二次不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得集合M，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出f（x）的最小值．

解答：解：∵（2log

1

2

x+3）（ log

1

2

x+3）≤0．
∴-3≤log

1

2

x≤-

3

2

，
∴(

1

2

)-

3

2

≤x≤（

1

2

）^-3，
∴2

2

≤x≤8 即M=[2

2

，8]．
又f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3）=log₂²x-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
∵2

2

≤x≤8，∴

3

2

≤log₂x≤3
∴當(dāng)log₂x=2，即x=4時(shí)f（x）_min=-1．

點(diǎn)評：熟練掌握一元二次不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．