Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓離心率是，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn)，動(dòng)圓過定點(diǎn)E（1，0）和F（7，0），且與直線x＝4交于點(diǎn)P，Q．

①求證：AP，AQ斜率的積是定值；

②設(shè)AP，AQ分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，求證：直線MN過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②見解析.

【解析】

(1)由橢圓的離心率得到，結(jié)合焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離可求出的值，進(jìn)而求出的值，即可得出橢圓的方程；(2) ①設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為 ,進(jìn)而寫出動(dòng)圓的方程，將直線的方程代入圓的方程，得出點(diǎn)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積，再利用斜率公式可得出的斜率之積為定值；②設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可得，由兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為 ,結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出，從而得出直線過定點(diǎn).

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意可得，所以，，

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，得c=1，所以，，

因此，橢圓的方程為；

（2）①設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，

設(shè)點(diǎn)，令，可得，

則AP、AQ的斜率之積為（定值）；

②設(shè)直線MN的方程為，設(shè)點(diǎn)

將直線MN的方程代入橢圓方程并化簡得，

由韋達(dá)定理可得

因?yàn)?/span>A、M、P三點(diǎn)共線，則，

由于，，

所以，則，同理可得

由

，解得t=1，

因此，直線MN過定點(diǎn)（1，0）.