【題目】(2015·湖北）一種作圖工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點，AB所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線C有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

【答案】
（1）

曲線C的方程為。


（2）

的最小值為8.


【解析】1.
設(shè)點,依題意，

,且所以,且,即且.由于當點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于0，于是,故,代入,可得,即所求的曲線C的方程為。
2.
（1）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有.
(2)當直線的斜率存在時，設(shè)直線,由消去,可得.因為直線總與橢圓C有且只有一個公共點，所以,即. ①又由可得;同理可得
.由原點O到直線的距離為和,可得.② 將①代入②得。當時，;當時，.因，則 ,,所以,當且僅當時取等號，所以當時,的最小值為8.

【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．

練習(xí)冊系列答案
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現(xiàn)有如下命題：
（1）對于任意不相等的實數(shù)x1, x2 ， 都有m>0；
（2）對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）對于任意的a ， 存在不相等的實數(shù)x1, x2 ， 使得m=n；
（4）對于任意的a ， 存在不相等的實數(shù)x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.

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(3)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”,若存在實數(shù)使得對任意的有不等式都成立,求實數(shù)的最大值.

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（1）求直線的斜率
（2）求橢圓的方程
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