Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），證明：x1+x2＜0.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的取值進(jìn)行分情況討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)先判斷函數(shù)有兩個零點(diǎn)時的取值范圍為,再利用極值點(diǎn)偏移法,構(gòu)造函數(shù),,證明即可.

(1)f(x)=(x﹣1)ex+ax2,

f′(x)=x(ex+2a),

①當(dāng)a≥0時,ex+2a>0,

故當(dāng)x∈(﹣∞,0)時,f'(x)<0,當(dāng)x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,

所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)a<0時,由f'(x)=x(ex+2a)=0,得x=0,或x=ln(﹣2a),

i當(dāng)﹣2a>1即a時,ln(﹣2a)>0,

故當(dāng)x∈(﹣∞,0),(ln(﹣2a),+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增,當(dāng)x∈(0,ln(﹣2a))時,f'(x)<0,f(x)遞減;

ii當(dāng)0<﹣2a<1即a<0時,ln(﹣2a)<0,

故當(dāng)x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),(0,+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增,當(dāng)x∈(ln(﹣2a),0)時,f'(x)<0,f(x)遞減;

iii當(dāng)﹣2a=1即a,ln(﹣2a)=0,f'(x)≥0,f(x)在R上遞增;

(2)函數(shù)f'(x)=x(ex+2a),由(1)可知:

①當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)=(x﹣1)ex只有一個零點(diǎn),不符合題意;

②當(dāng)a<時,f(x)的極大值為f(0)=﹣1,f(x)極小值為,

故最多有一個零點(diǎn),不成立;

③當(dāng)a<0時,f(x)的極大值為f(ln(﹣2a)=[ln(﹣2a)﹣1]eln(﹣2a)+aln2(﹣2a)=a[ln2(﹣2a)﹣2ln(﹣2a)+2]=a[(ln(﹣2a)﹣1)2+1]<0,

故最多有一個零點(diǎn),不成立;

④當(dāng)a時,f(x)在R上遞增,

故最多有一個零點(diǎn)不成立;

③當(dāng)a>0,函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又f(0)=﹣1,f(1)=a>0,故在(0,1)存在一個零點(diǎn)x2,

因為x<0,所以x﹣1<0,0<ex<1,所以ex(x﹣1)>x﹣1,

所以f(x)>ax2+x﹣1,

取x0,顯然x0<0且f(x0)>0,

所以f(x0)f(0)<0,故在(x0,0)存在一個零點(diǎn)x1,

因此函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn),且x1<0<x2,

要證x1+x2<0,即證明x1<﹣x2<0,

因為f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,故只需f(x1)=f(x2)>f(﹣x2)即可,

令g(x)=f(x)﹣f(﹣x),x>0,

g'(x)=x(ex+2a)﹣xe﹣x﹣2ax=x(ex﹣e﹣x)>0,

所以g(x)在上單調(diào)遞增,

又g(0)=0,所以g(x)>0,

故f(x1)=f(x2)>f(﹣x2)成立,

即x1+x2<0成立.