Question

已知函數(shù)f(x)=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）的圖象上一條對稱軸，求g(

x

0

)的值．
（2）求使函數(shù)h(x)=f(

ωx

2

)+g(

ωx

2

)，(ω＞0)，在區(qū)間[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數(shù)的ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二倍角公式化簡函數(shù)f（x）結(jié)合正弦函數(shù)的對稱軸求出其對稱軸方程，再代入函數(shù)g（x）即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式以及輔助角公式求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到答案．

解答：解：（1）因?yàn)椋篺（x）=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，
其對稱軸：2x=kπ+

π

2

⇒x=

kπ

2

+

π

4

．
而g（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

．
把x=

kπ

2

+

π

4

代入得g（x）=

1+cos(kπ+ π 2 + π 6 )

2

=

1-sin π 6

2

=

1- 1 2

1 2

=

1

4

．
（2）因?yàn)椋篽（x）=f（

ωx

2

）+g（

ωx

2

）
=1+

1

2

sinωx+

1+cos(ωx+ π 6 )

2

=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

cos（ωx+

π

6

）
=

3

2

+

1

2

sinωx+

1

2

（

3

2

×cosωx-

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）
=

3

2

+

1

2

cos（ωx-

π

6

）．
當(dāng)x∈[-

2π

3

，

π

3

]時(shí)，ωx-

π

6

∈[-

2ωπ

3

-

π

6

，

ωπ

3

-

π

6

]．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數(shù)
所以須有-

2ωπ

3

-

π

6

≥-π且

ωπ

3

-

π

6

≤0；
解得：ω≤

5

4

且ω≤

1

2

．
故ω的最大值為：

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角公式的應(yīng)用．解決這類問題的關(guān)鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運(yùn)用．