【題目】如圖，在三棱柱中，，，．

（Ⅰ）證明：點(diǎn)在底面上的射影必在直線上；

（Ⅱ）若二面角的大小為，，求與平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證明；

（Ⅱ）以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法求解可得結(jié)果．

（Ⅰ）證明：連接，如圖：

因?yàn)?/span>，，，

所以平面

所以平面平面．

過點(diǎn)作，

則由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面．

又平面，所以與重合，

所以點(diǎn)在底面上的射影必在直線上．

（Ⅱ）由，，得是二面角的平面角，即．

在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，以，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

在中，由，，得，

所以，

又，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

則，，，，

所以．

由，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，所以，

取，則

所以平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)與平面所成角為，

故．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，其中，則下 列關(guān)于函數(shù)的描述中，其中正確的是（ ）

①將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可以得到函數(shù)的圖象；

②函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；

④函數(shù)在上單調(diào)遞增.

A.①③B.③④C.②③D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限.

若，，求直線的方程；

若，點(diǎn)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，求證：直線，，的斜率成等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某生物研究所為研發(fā)一種新疫苗，在200只小白鼠身上進(jìn)行科研對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

未感染病毒

感染病毒

總計(jì)

未注射疫苗

30

注射疫苗

70

總計(jì)

100

100

200

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.

（Ⅰ）能否有的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？

（Ⅱ）在未注射疫苗且未感染病毒與注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分別抽取3只進(jìn)行病例分析，然后從這6只小白鼠中隨機(jī)抽取2只對(duì)注射疫苗情況進(jìn)行核實(shí)，求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.

附：，，

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： 為定值；

（3）判斷數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，通過全國(guó)人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的共同努力，新冠肺炎疫情得到了有效控制.作為集中醫(yī)學(xué)觀察隔離點(diǎn)的某酒店在疫情期間，為客人提供兩種速食品—“方便面”和“自熱米飯”.為調(diào)查這兩種速食品的受歡迎程度，酒店部門經(jīng)理記錄了連續(xù)10天這兩種速食品的銷售量，得到如下頻數(shù)分布表（其中銷售量單位：盒）：

第天

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

方便面

103

93

98

93

106

86

87

94

91

99

自熱米飯

88

96

98

97

101

99

102

107

104

112

（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面的莖葉圖（填到答題卡上）；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為哪種速食品更受歡迎，并簡(jiǎn)要說明理由；

（3）求自熱米飯銷售量y關(guān)于天數(shù)t的線性回歸方程，并預(yù)估第12天自熱米飯的銷售量（結(jié)果精確到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：，.

附：回歸直線方程，其中，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種治療新型冠狀病毒感染肺炎的復(fù)方中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，我國(guó)醫(yī)療科研專家攻堅(jiān)克難，新研發(fā)出、兩種新配方，在兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取數(shù)量相同的樣本，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，規(guī)定指標(biāo)值小于時(shí)為廢品，指標(biāo)值在為一等品，大于為特等品．現(xiàn)把測(cè)量數(shù)據(jù)整理如下，其中配方廢品有件．

配方的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值分組

頻數(shù)

（1）求，的值；

（2）試確定配方和配方哪一種好？(說明：在統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形內(nèi)種植了兩種花卉，其中區(qū)域內(nèi)種植蘭花，區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對(duì)角線BD是一條觀賞小道．測(cè)量可知邊界，， ．

（1）求觀賞小道BD的長(zhǎng)及種植區(qū)域的面積；

（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調(diào)整，使得種植蘭花的面積有所增加，請(qǐng)?jiān)?/span>BAD上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形）的面積最大，并求出這個(gè)面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在線段AH上，且，BE與底面ABCD所成角為．

（1）求證：AC⊥BE；

（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)M在線段BD上，且AM//平面BEF，求DM的長(zhǎng)．

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