Question

若實數(shù)x，y，m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（Ⅰ）若x²-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）的定義域D={x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)定義列出不等式即可求出；
（Ⅱ）通過解出|sinx|＞|cosx|、|sinx|＜|cosx|，即可求出f（x）的解析式及定義域；

解答：解：（Ⅰ） 根據(jù)定義可得：|x²-1|＞1，∴x²-1＞1或x²-1＜-1，解得x∈(-∞，-

2

)∪(

2

，+∞)；
（Ⅱ）（1）①若|sinx|＞|cosx|，（*）
則當(dāng)x=kπ+

π

2

(k∈Z)時，cosx=0，上式（*）成立，此時，f（x）=sinx；
則當(dāng)x≠kπ+

π

2

（k∈Z）時，（*）可化為|tanx|＞1，即tanx＞1或tanx＜-1，
解得x∈(kπ+

π

4

，kπ+

π

2

)∪(kπ+

π

2

，kπ+

3π

4

)．
綜上可知：當(dāng)x∈(kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

)（k∈Z）時，f（x）=sinx；
②若|sinx|＜|cosx|，由①可知：x∈(kπ-

π

4

，kπ+

π

4

)（k∈Z）．
∴f(x)=

sinx，x∈(kπ+ π 4 ，kπ+ 3π 4 )k∈Z cosx，x∈(kπ- π 4 ，kπ+ π 4 )k∈Z

．
（2）其基本性質(zhì)如下：①解析式與定義域見上；②畫出圖象如圖所示：
③值域為[-1，-

2

2

)∪(

2

2

，1]；④非奇非偶函數(shù)；⑤在定義域內(nèi)不單調(diào)；⑥是周期為2π的函數(shù)．

點評：周期理解新定義、熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．