Question

如圖，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BB₁=2，AB=2,BC=1,∠BCC₁=.

(1)求證：C₁B⊥平面ABC；

(2)試在棱CC₁（不包含端點C、C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；

(3)在(2)的條件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值.

Answer 1

解：(1)因為AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁.

在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=,

由余弦定理得

BC₁=

==.

故有BC²+BC₁²=CC₁²,∴C₁B⊥BC.

而BC∩AB=B且AB，BC平面ABC,

∴C₁B⊥平面ABC.

(2)由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE,

從而B₁E⊥平面ABE,且BE平面ABE,故BE⊥B₁E.

不妨設(shè)CE=x,則C₁E=2-x,則BE²=1+x²-x.

又∵∠B₁C₁C=,則B₁E²=x²-5x+7,

在Rt△BEB₁中,有x²-5x+7+x²-x+1=4,

從而x=1或x=2（舍去）.

故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁.

(3)取EB₁的中點D，A₁E的中點F，BB₁的中點N，AB₁的中點M,

連DF,則DF∥A₁B₁，連DN,則DN∥BE，連MN,則MN∥A₁B₁,

連MF,則MF∥BE，且MNDF為矩形，MD∥AE.

又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁,故∠MDF為所求二面角的平面角.

在Rt△DFM中,DF=A₁B₁=（∵△BCE為正三角形）,

MF=BE=CE=,

∴tan∠MDF=.