【題目】已知函數(shù)f(x)=e2x+1﹣2mx﹣ m,其中m∈R,e為自然對數(shù)底數(shù).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若不等式f(x)≥n對任意x∈R都成立,求mn的最大值.
【答案】
(1)解: ,x∈R,f'(x)=2e2x+1﹣2m,
①當m≤0時,f'(x)≥0,f(x)在R上單調(diào)遞增;
②當m>0時,令f'(x)=0,得 ,
x | |||
f'(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↘ | 極小值 | ↗ |
綜上所述,當m≤0時,f(x)在R上單調(diào)遞增;
當m>0時,f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增
(2)解:由(1)可知,若m≤0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,
f(x)在R上無最小值,與題意矛盾,舍去;
所以m>0,f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,
f(x)在R上的最小值為 .
因為不等式f(x)≥n對任意x∈R都成立,
所以 ,其中m>0,
故 ,m>0,
令 ,m>0, ,
令φ'(m)=0,解得m=1,
m | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
φ'(m) | + | 0 | ﹣ |
φ(m) | ↗ | 極大值 | ↘ |
所以 ,故 ,
即mn的最大值為
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為 ,其中m>0,得到 ,m>0,令 ,m>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出mn的最大值即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個不同點.
(1)求橢圓的標準方程以及m的取值范圍;
(2)求證直線MA,MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在 上的函數(shù)滿足 ,當 時, .
(1)求證: 為奇函數(shù);
(2)求證: 為 上的增函數(shù);
(3)解關(guān)于 的不等式: (其中 且 為常數(shù)).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知g(x)是各項系數(shù)均為整數(shù)的多項式,f(x)=2x2﹣x+1,且滿足f(g(x))=2x4+4x3+13x2+11x+16,則g(x)的各項系數(shù)之和為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,a為正常數(shù).
(1)若f(x)=lnx+φ(x),且 ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意x1 , x2∈(0,2],x1≠x2 , 都有 ,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知 是上、下底邊長分別為2和6,高為 的等腰梯形,將它沿對稱軸 折疊,使二面角 為直二面角.
(1)證明: ;
(2)求二面角 的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M(2,m)為其上一點,且|MF|=4.
(1)求p與m的值;
(2)如圖,過點F作直線l交拋物線于A、B兩點,求直線OA、OB的斜率之積.
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