Question

雙曲線16x²-9y²=144的左、右兩焦點分別為F₁、F₂，點P在雙曲線上，且|PF₁|•|PF₂|=64，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程得

x2

9

-

y2

16

=1，從而算出F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）．再設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由雙曲線的定義和余弦定理，結(jié)合題意建立關(guān)于m、n的方程組，解出∠F1PF2=600，最后利用正弦定理的面積公式即可求出△PF₁F₂的面積．

解答：解：雙曲線方程16x²-9y²=144化簡為

x2

9

-

y2

16

=1
即a²=9，b²=16
∴c²=25，解得a=3，c=5，可得F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）…（3分）
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由雙曲線的定義知|m-n|=2a=6，又已知m•n=64，…（5分）
在△PF₁F₂中，由余弦定理知
cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

m2+n2-(2c)2

2m•n

=

(m-n)2+2m•n-4c2

2m•n

=

36+2×64-4×25

2×64

=

1

2

∴∠F1PF2=600
因此，△PF₁F₂的面積為
S△F1PF2=

1

2

|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=

1

2

m•n•sin600=16

3

…（12分）

點評：本題給出雙曲線的焦點三角形中，在已知兩條焦半徑的積的情況下求三角形的面積．著重考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)、正余弦定理和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．