【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=(n∈N*)
(Ⅰ)證明當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{nan}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(Ⅱ)求數(shù)列{n2an}的前n項(xiàng)和Tn;
(Ⅲ)對(duì)任意n∈N*,使得 恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)要證明數(shù)列{nan}是等比數(shù)列,應(yīng)先求其通項(xiàng)公式,然后用等比數(shù)列定義證明即可。由等比數(shù)列通向公式可求得數(shù)列{nan}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;(Ⅱ)要求數(shù)列{n2an}的前n項(xiàng)和Tn,應(yīng)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果求其通項(xiàng)公式,由通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可用錯(cuò)位相減法求數(shù)列從第二項(xiàng)到第n項(xiàng)的和,再加第一項(xiàng)可得結(jié)果;(Ⅲ) 根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果,不等式可變?yōu)?/span>,利用基本不等式,可求得不等式右邊的最大值為?汕髮(shí)數(shù)λ的最小值為。
(Ⅰ)[證明]:由a1+2a2+3a3+…+nan=,得a1+2a2+3a3+…+(n﹣1)an﹣1=(n≥2),
①﹣②:,即(n≥2),∴當(dāng)n≥2時(shí),數(shù)列{nan}是等比數(shù)列,
又a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=,得a2=1,則2a2=2,∴,
∴(n≥2),∴;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,
∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2,則,
兩式作差得:,得:;
(Ⅲ)解:由≤(n+6)λ,得≤(n+6)λ,
即對(duì)任意n∈N*恒成立.
當(dāng)n=2或n=3時(shí)n+有最小值為5,有最大值為,故有λ≥,∴實(shí)數(shù)λ的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,底面是平行四邊形的四棱錐中,點(diǎn)是線段上的點(diǎn),平面,平面,,,.
(1)求證:點(diǎn)是中點(diǎn);
(2)求證:平面平面;
(3)求三棱錐底面上的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)為二次函數(shù),且f(x+1)+f(x﹣1)=2x2﹣4x,
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=f(2x)﹣m2x+1,其中x∈[0,1],m為常數(shù)且m∈R,求函數(shù)g(x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)將甲、乙兩個(gè)學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)(百分制)制成如圖所示的莖葉圖,進(jìn)人高三后,由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法,甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的考試數(shù)學(xué)成績(jī)預(yù)計(jì)同時(shí)有了大的提升.若甲(乙)的高二任意一次考試成績(jī)?yōu)?/span>,則甲(乙)的高三對(duì)應(yīng)的考試成績(jī)預(yù)計(jì)為(若>100.則取為100).若已知甲、乙兩個(gè)學(xué)生的高二6次考試成績(jī)分別都是由低到高進(jìn)步的,定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績(jī)之差的絕對(duì)值.
(I)試預(yù)測(cè):在將要進(jìn)行的高三6次測(cè)試中,甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)分別為多少?(計(jì)算結(jié)果四舍五入,取整數(shù)值)
(Ⅱ)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;并指出x,y 是否線性相關(guān);
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016·桂林高二檢測(cè))如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是________.
(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.
(3)CA′與平面A′BD所成的角為30°.
(4)四面體A′-BCD的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間,上同時(shí)存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果對(duì)任意、,有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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