【題目】已知函數(shù) 且.

(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)當(dāng)時，求證：；

(3)討論函數(shù)的極值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（I）求得切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式轉(zhuǎn)化為成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值為零，由此證得不等式成立.（III）對求導(dǎo)后，對分成兩類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論得出函數(shù)的極值.

解：（Ⅰ）當(dāng)時，．所以．

因為，

所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）當(dāng)時，．

函數(shù)的定義域為．

不等式成立 成立 成立.

設(shè) ，

則．

當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

＋

－

↗

極大值

↘

所以．

因為，所以，

所以．

（Ⅲ）求導(dǎo)得. 令，因為可得．

當(dāng)時，的定義域為.當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

＋

－

↗

極大值

↘

此時有極大值，無極小值．

當(dāng)時，的定義域為，當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

－

＋

↘

極小值

↗

此時有極小值，無極大值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.

(1)在線段BC是否存在一點(diǎn)E，使得ND⊥FC ，若存在，求出EC的長并證明；

若不存在，請說明理由．

(2)求四面體NEFD體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，，是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，鏈接M，N兩地之間的鐵路是圓心在上的一段圓弧，若點(diǎn)M在O正北方向，且，點(diǎn)N到，距離分別為4km和5km．

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程；

若該城市的某中學(xué)擬在O點(diǎn)正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點(diǎn)O的距離大于4km，并且鐵路線上任意一點(diǎn)到校址的距離不能少于，求該校址距離點(diǎn)O的最近距離．注：校址視為一個點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長、短軸四個端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，當(dāng)動點(diǎn)在定直線上運(yùn)動時，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)、，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖231所示．

圖231

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．

(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；

(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50名乘客，統(tǒng)計其乘車等待時間（指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超過40分鐘）．將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按分組，制成頻率分布直方圖：

假設(shè)乘客乘車等待時間相互獨(dú)立．

(1)在上班高峰時段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為；從乙站的乘客中隨機(jī)抽取1人，記為.用頻率估計概率，求“乘客,乘車等待時間都小于20分鐘”的概率；

(2)從上班高峰時段,從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3人，表示乘車等待時間小于20分鐘的人數(shù)，用頻率估計概率，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：直線與橢圓相切；

（Ⅲ）判斷是否為定值，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn).某“共享助力單車”運(yùn)營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了200名用戶，得到用戶的滿意度評分，現(xiàn)將評分分為5組，如下表:

組別

一

二

三

四

五

滿意度評分

頻數(shù)

12

28

68

40

頻率

0.06

0.34

0.2

（1）求表格中的，，的值；

（2）估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；

（3）若從這200名用戶中隨機(jī)抽取50人，估計滿意度評分高于6分的人數(shù)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體喪失免疫功能下表是近八年來我國艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計表：

年份

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代碼x

1

2

3

4

5

6

7

8

感染者人數(shù)單位：萬人

85

請根據(jù)該統(tǒng)計表，畫出這八年我國艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖；

請用相關(guān)系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；

建立y關(guān)于x的回歸方程系數(shù)精確到，預(yù)測2019年我國艾滋病病毒感染人數(shù)．

參考數(shù)據(jù)：；，，，

參考公式：相關(guān)系數(shù)，

回歸方程中， ，．

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