Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A（-2，-1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，短軸端點(diǎn)為B₁、B₂，

FB1

•

FB2

=2b2．
（1）求a、b的值；
（2）過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q，與y軸的交點(diǎn)為R．過原點(diǎn)O且平行于l．試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出

FB1

 和

FB2

的坐標(biāo)，根據(jù)

FB1

•

FB2

=2b2 以及橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A（-2，-1），列出方程組求得a、b的值．
（2）把直線l的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組求得 x_Q+2=

8k+4

4k2+1

．把OP的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組求得xP2=

8

1+4k2

．根據(jù)AO•AR=3OP²，求得k的值，從而求得直線l的方程．

解答：解：（1）由題意可得 F（-c，0）、B₁ （0，-b）、B₂（0，b），
∴

FB1

=（c，-b）、

FB2

=（c，b）．
∵

FB1

•

FB2

=2b2∴c²-b²=2b² ①．
由于橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A（-2，-1），∴

4

a2

+

1

b2

=1 ②．
由①②可解得 a=2

2

，b=

2

．
（2）設(shè)直線l的方程為 y+1=k（x+2），由

y+1=k(x+2) x2 8 + y2 2 =1

可得 （x+2）[（4k²+1）（x+2）-（8k+4）]=0．
由于x+2≠0，∴x+2=

8k+4

4k2+1

，即 x_Q+2=

8k+4

4k2+1

．
由題意可得，OP的方程為y=kx，由

y=kx x2 8 + y2 2 =1

 可得 （1+4k²）x²=8，∴xP2=

8

1+4k2

．
∵AO•AR=3OP²，∴|x_Q-（-2）|×|0-（-2）|=3xP2，即

8k+4

4k2+1

×2=3×

8

1+4k2

，
解得k=1，或 k=-2．
當(dāng)k=1時(shí)，直線l的方程為 x-y+1=0．當(dāng)k=-2時(shí)，直線l的方程為 2x+y+5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，直線和圓錐曲線的關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．