已知橢圓
的方程為
,點
的坐標(biāo)滿足
過點
的直線
與橢圓交于
、
兩點,點
為線段
的中點,求:
(1)點
的軌跡方程;
(2)點
的軌跡與坐標(biāo)軸的交點的個數(shù).
(Ⅰ)
(Ⅱ)當(dāng)
a=0,
b=0,即點
P(
a,
b)為原點時,(
a,0)、(0,
b)與(0,0)重點,曲線
L與坐標(biāo)軸只有一個交點(0,0)
當(dāng)
a=0且
,即點
P(
a,
b)不在橢圓
C外且在除去原點的
y軸上時,點(
a,0)與(0,0)重合,曲線
L與坐標(biāo)軸有兩個交點(0,
b)與(0,0)
同理,當(dāng)
b=0且
,即點
P(
a,
b)不在橢圓
C外且在除去原點的
x軸上時,曲線
L與坐標(biāo)軸有兩個交點(
a,0)與(0,0)
當(dāng)
且
,即點
P(
a,
b)在橢圓
C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時,曲線
L與坐標(biāo)軸有三個交點(
a,0)、(0,
b)與(0,0)
(1)設(shè)點
、
的坐標(biāo)分別為
、
,點
的坐標(biāo)為
.當(dāng)
時,設(shè)直線
的斜率為
,則
的方程為
由已知
(1)
(2)
由(1)得
, (3)
由(2)得
, (4)
由(3)、(4)及
,
,
,
得點
Q的坐標(biāo)滿足方程
(5)
當(dāng)
時,
k不存在,此時
l平行于
y軸,因此
AB的中點
Q一定落在
x軸上,即
Q的坐標(biāo)為(
a,0)
顯然點
Q的坐標(biāo)滿足方程(5)
綜上所述,點
Q的坐標(biāo)滿足方程
設(shè)方程(5)所表示的曲線為
L,
則由
得
因為
,由已知
,
所以當(dāng)
時,△=0,曲線
L與橢圓
C有且只有一個交點
P(
a,
b)
當(dāng)
時,△<0,曲線
L與橢圓
C沒有交點
因為(0,0)在橢圓
C內(nèi),又在曲線
L上,所以曲線
L在橢圓
C內(nèi)
故點
Q的軌跡方程為
(2)由
解得曲線
L與
y軸交于點(0,0),(0,
b)
由
解得曲線
L與
x軸交于點(0,0),(
a,0)
當(dāng)
a=0,
b=0,即點
P(
a,
b)為原點時,(
a,0)、(0,
b)與(0,0)重點,曲線
L與坐標(biāo)軸只有一個交點(0,0)
當(dāng)
a=0且
,即點
P(
a,
b)不在橢圓
C外且在除去原點的
y軸上時,點(
a,0)與(0,0)重合,曲線
L與坐標(biāo)軸有兩個交點(0,
b)與(0,0)
同理,當(dāng)
b=0且
,即點
P(
a,
b)不在橢圓
C外且在除去原點的
x軸上時,曲線
L與坐標(biāo)軸有兩個交點(
a,0)與(0,0)
當(dāng)
且
,即點
P(
a,
b)在橢圓
C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時,曲線
L與坐標(biāo)軸有三個交點(
a,0)、(0,
b)與(0,0)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知焦點在
軸上的橢圓
的兩個焦點分別為
, 且
,弦
過焦點
,則
的周長為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若方程
表示橢圓,則
的取值范圍是( )
A.(5,9) | B.(5,+∞) |
C.(1,5)∪(5,9) | D.(-∞,9) |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
,其中
也是拋物線
的焦點,
是
與
在第一象限的交點,且
.
(1)求橢圓
的方程;
(2)已知菱形
的頂點
在橢圓
上,頂點
在直線
上,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若橢圓
的左、右焦點分別為
,拋物線
的焦點為
F。若
,則此橢圓的離心率為
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)向量
,過定點
,以
方向向量的直線與經(jīng)過點
,以向量
為方向向量的直線相交于點P,其中
(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)過
的直線
與C交于兩個不同點M、N,求
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知圓
上的動點,點Q在NP上,點G在MP上,且滿足
.
(I)求點G的軌跡C的方程;
(II)過點(2,0)作直線
,與曲線C交于A、B兩點,O是坐標(biāo)原點,設(shè)
是否存在這樣的直線
,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線
的方程;若不存在,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,橢圓
的左右焦點分別為
,
是橢圓右準(zhǔn)線上的兩個動點,且
=0.
(1)設(shè)圓
是以
為直徑的圓,試判斷原點
與圓
的位置關(guān)系
(2)設(shè)橢圓的離心率為
,
的最小值為
,求橢圓的方程
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知動點
到兩個定點
的距離的和等于4.
(1)求動點
所在的曲線
的方程;
(2)若點
在曲線
上,且
,試求
面積的最大值和最小值.
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