Question

在等差數(shù)列{a_n}中，設S_n為它的前n項和，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，且點A（3，a₃）與B（5，a₅）都在斜率為-2的直線l上．
（Ⅰ）求a₁的取值范圍；
（Ⅱ）指出

S1

a1

，

S2

a2

，…，

S15

a15

中哪個值最大，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)斜率的表示方法，求得等差數(shù)列的公差，進而根據(jù)等差數(shù)列求和公式表示出S₁₅和S₁₆，根據(jù)其范圍確定a₁的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)S₁₅和大于0判斷出a₈＞0，根據(jù)S₁₆=8（a₈+a₉）判斷出a₈＞0，a₉＜0進而可知數(shù)列的前8項的和最大．進而根據(jù)當1≤i≤8時，

Si

ai

＞0；當9≤i≤15時，

Si

ai

＜0，推斷出數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，進而推斷出

S8

a8

最大．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得

a5-a3

5-3

=-2，則公差d=-2，
∴

S15=15a1+ 15×14 2 ×d=15(a1-14)＞0 S16=16a1+ 16×15 2 ×d=16(a1-15)＜0

?＜14＜a1＜15；
（Ⅱ）最大的值是

S8

a8

∵S₁₅=15a₈＞0，S₁₆=8（a₈+a₉）＜0
∴a₈＞0，a₉＜0即S₈最大
又當1≤i≤8時，

Si

ai

＞0；當9≤i≤15時，

Si

ai

＜0，數(shù)列{a_n}遞減
所以，

S1

a1

≤

S2

a2

≤≤

S8

a8

≥

S9

a9

≥≥

S15

a15

?

S8

a8

最大．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．涉及了等差數(shù)列的求和公式，通項公式，不等式問題等，綜合性很強．