設函數(shù)．f（x）=x3-
92
x2+6x-a
（1）對于任意實數(shù)x∈（1，5]，f′（x）≥m恒成立（其中f′（x）表示f（x）的導函數(shù)），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，求a的取值范圍．
分析：（1）f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等價于m≤3x2-9x+6在（1，5]恒成立，等價于m≤（3x2-9x+6）min，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求得其最小值；
（2）方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，等價于函數(shù)f（x）只有一個零點，利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的極大值、極小值，只需令極大值小于0或極小值大于0即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x2-9x+6，
f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等價于m≤3x2-9x+6在（1，5]恒成立，
由f′（x）=3x2-9x+6=3（x-
3
2
）2-
3
4
在[1，5]上的最小值為-
3
4
，
所以m≤-
3
4
，即m的最大值為-
3
4
；
（2）f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
∵當x＜1或x＞2時f′（x）＞0，當1＜x＜2時f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴f（x）極大值=f（1）=
5
2
-a，f（x）極小值=f（2）=2-a，
∴當f（1）＜0或f（2）＞0時，方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，解得a＞
5
2
或a＜2，
所以所求a的取值范圍為：（-∞，2）∪（
5
2
，+∞）．
點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立及函數(shù)的零點，考查轉化思想、數(shù)形結合思想，考查學生分析解決問題的能力，恒成立問題常轉化為函數(shù)最值問題解決，而方程根的個數(shù)可轉化為函數(shù)零點解決．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）定義在R上，對于任意實數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1且當x＜0時，f（x）＞1
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）設集合A=（x，y）|f（-x2+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
且A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關于x=3對稱，則g（x）的表達式為（　　）
A、g(x)=f(
3
2
-x)
B、g（x）=f（3-x）
C、g（x）=f（-3-x）
D、g（x）=f（6-x）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）對于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“P數(shù)對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“類P數(shù)對”．設函數(shù)f（x）的定義域為R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數(shù)對”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數(shù)對”，且當x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數(shù)，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數(shù)對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)都成立，則稱函數(shù)f（x） 為“倍約束函數(shù)”．給出下列函數(shù)，其中是“倍約束函數(shù)”的為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）對于定義域分別為M，N的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：
函數(shù)h(x)=
f(x)•g(x)，當x∈M且x∈N
f(x)，當x∈M且x∉N
g(x)，當x∉M且x∈N

（1）若函數(shù)f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，設bn為曲線y=h（x）在點（an，h（an））處切線的斜率；而{an}是等差數(shù)列，公差為1（n∈N*），點P1為直線l：2x-y+2=0與x軸的交點，點Pn的坐標為（an，bn）．求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數(shù)y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案