【題目】已知圓心為的圓,滿足下列條件:圓心位于軸正半軸上,與直線相切,且被軸截得的弦長為,圓的面積小于13.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點,點是圓上一點,點是的重心,求點的軌跡方程;
(3)設(shè)過點的直線與圓交于不同的兩點,,以,為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線,使得直線與恰好平行?如果存在,求出的方程;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)見解析
【解析】
(1)利用點到直線的距離公式,結(jié)合勾股定理,建立方程,根據(jù)圓C的面積小于13,即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,由重心坐標(biāo)公式得到,結(jié)合,代入得到軌跡方程;(3)分類討論,設(shè)出直線方程與圓的方程聯(lián)立,利用判別式大于0得到或利用韋達(dá)定理以及中點坐標(biāo)公式得到中點坐標(biāo)為,由,則,解得,即可得出結(jié)論.
(1)設(shè)圓:,由題意知,
解得或.
又∵,∴,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,由已知得:
,即,又,
所以,即為所求.
(3)當(dāng)斜率不存在時,直線的方程為,不滿足題意.
當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線的方程為,,.
又∵直線與圓相交于不同的兩點,聯(lián)立,消去得.
∴,解得或.
,.
∴中點坐標(biāo)為.
在平行四邊形中,則,
由于,則,∴,解得.
但,假設(shè)不成立.∴不存在這樣的直線.
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【題目】設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且滿足:當(dāng)成立時,總可推出
成立,那么下列命題總成立的是( )
A. 若成立,則成立;
B. 若成立,則成立;
C. 若成立,則當(dāng)時,均有成立;
D. 若成立,則當(dāng)時,均有成立.
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【題目】已知奇函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0的解集是( )
A.(﹣3,﹣1)
B.(﹣1,1)∪(1,3)
C.(﹣3,0)∪(3,+∞)
D.(﹣3,1)∪(2,+∞)
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【題目】若任意兩圓交于不同兩點、,且滿足,則稱兩圓為“心圓”,已知圓:與圓:為“心圓”,則實數(shù)的值為( )
A. B. C. 2 D.
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【題目】觀察下列方程,并回答問題:
①;②;③;④;…
(1)請你根據(jù)這列方程的特點寫出第個方程;
(2)直接寫出第2009個方程的根;
(3)說出這列方程的根的一個共同特點.
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【題目】函數(shù)f(x)= ,直線y=m與函數(shù)f(x)的圖象相交于四個不同的點,從小到大,交點橫坐標(biāo)依次記為a,b,c,d,有以下四個結(jié)論 ①m∈[3,4)
②abcd∈[0,e4)
③a+b+c+d∈
④若關(guān)于x的方程f(x)+x=m恰有三個不同實根,則m取值唯一.
則其中正確的結(jié)論是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R. (Ⅰ)若當(dāng)a=﹣1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)> (e+1)a,求a的取值范圍.
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【題目】中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝:禮、樂、射、御、書、數(shù),簡稱“六藝”,某中學(xué)為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化,分別進(jìn)行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識的競賽,現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進(jìn)入了前三名的最后角逐、規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分都分別為(,且);選手最后得分為各場得分之和,在六場比賽后,已知甲最后得分為26分,乙和丙最后得分都為11分,且乙在其中一場比賽中獲得第一名,則下列推理正確的是( )
A. 每場比賽第一名得分為4 B. 甲可能有一場比賽獲得第二名
C. 乙有四場比賽獲得第三名 D. 丙可能有一場比賽獲得第一名
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