Question

設(shè)a＞0，b＞0，若矩陣A=

a 0 0 b

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為圓C上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)矩陣A變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′（x′，y′），得P′（ax，by）在橢圓E上，化簡(jiǎn)所得方程與圓C為同一方程，比較系數(shù)可得a，b的值；
（2）設(shè)A^-1=

m n p q

，由逆矩陣定義建立關(guān)于n、m、p、q的方程組，解之可得n、m、p、q的值，從而得到逆矩陣A^-1．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為圓C：x²+y²=1上任意一點(diǎn)，
經(jīng)過(guò)矩陣A變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′（x′，y′）
則

a 0 0 b

x y

═

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

． …2分
因?yàn)辄c(diǎn)P′（x′，y′）在橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1上，
所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，這個(gè)方程即為圓C方程．  …6分
因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

．       …8分
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，設(shè)A^-1=

m n p q

，
得AA^-1=

2 0 0 3

m n p q

=

2m 2n 3 p 3 q

=

1 0 0 1

．
．∴m=

1

2

，n=p=0，q=

3

3

，可得A^-1=

1 2 0 0 3 3

 …10分

點(diǎn)評(píng)：本題已知單位圓在矩陣A的作出下變換成的圖形，求變換的矩陣A，著重考查了圓的方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和逆變換與逆矩陣等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．