Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a1=1+

2

，S3=9+3

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)bn=an-

2

(n∈N*)，{b_n}中的部分項(xiàng)bk1，bk2，…bkn恰好組成等比數(shù)列，且k₁=1，k₄=63，求該等比數(shù)列的公比與數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則由條件求出d=2，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S_n的值．
（2）由b_n=an-

2

=2n-1，結(jié)合條件可得公比 q滿足 q3=

b63

b1

=125，即q=5．再由bkn=2kn-1且bkn=5n-1，求出數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則由題意可得3（1+

2

）+

3×2

2

×d=9+3

2

，
解得d=2，故 a_n =1+

2

+（n-1）2=2n-1+

2

，
故S_n=n（1+

2

）+

n(n-1)

2

×2=n2+

2

n．
（2）由b_n=an-

2

=2n-1，bk1，bk2，…bkn恰好組成等比數(shù)列，且k₁=1，k₄=63，
可得公比q滿足 q3=

b63

b1

=125，即q=5．
再由bkn=2kn-1且bkn=5n-1，可得 2k_n-1=5^n-1，
從而可得 kn=

1

2

(5n-1+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．