Question

已知函數(shù)f（x）=x+4+4 （x≥0），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），（n∈N*），數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列；　 （2）若c_n=•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+4+4= （x≥0），
∴a_n+1=f（a_n）=，即 -=2 （n∈N*）．
∴數(shù)列{ }是以 =1為首項，公差為2的等差數(shù)列．…（4分）
（2）由（Ⅰ）得：=1+（n-1）2=2n-1，即 a_n=（2n-1）² （n∈N*）．…（5分）
b₁=1，當n≥2時，b_n-b_n-1=，∴b_n=b₁+（ b₂-b₁）+（ b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=1+++…+=，因而 b_n=，n∈N*．…（7分）
∴c_n=•b_n=（2n-1）•，∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=[1+3+5+…+（2n-1）-（+++…+）]．
令T_n=+++…+ ①，則 T_n=+++…++ ②…（9分）
①-②，得 T_n=+2（+++…+）-=+（1-）-，…（10分）
∴T_n=1-．
又 1+3+5+…+（2n-1）=n²．…（11分）
∴S_n= （n²-1+ ）．…（12分）
分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式及已知條件可得 -=2（n∈N*），從而得到數(shù)列{ }是以 =1為首項，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由（Ⅰ）得a_n=（2n-1）²，由條件求得 b_n=，c_n=•b_n=（2n-1）•，化簡S_n為 [1+3+5+…+（2n-1）-（+++…+）]．令T_n=+++…+，用錯位相減法求得T_n的值，即可求得S_n的值．
點評：本題主要考查等差關系的確定，等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，用錯位相減法進行數(shù)列求和，屬于中檔題．