Question

(10分)設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程

實根的個數(shù)（重根按一個計）．

（Ⅰ）求方程有實根的概率；

（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程有實根的概率.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】本試題主要考查了古典概型概率的計算，以及分布列和數(shù)學(xué)期望的求解的綜合運用。

（1）中理解本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36，那么借助于使方程有實根△=b²-4c≥0，得到事件A發(fā)生的基本事件數(shù)，得到概率值。

（2）利用ξ=0，1，2的可能取值，分別得到各個取值的概率值，然后寫出分布列和數(shù)學(xué)期望值

（3）分析在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根，這是一個條件概率，利用條件概率公式得到結(jié)論。

解：（I）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，

試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36，

滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b²-4c≥0，即．

下面針對于c的取值進(jìn)行討論

當(dāng)c=1時，b=2，3，4，5，6；  當(dāng)c=2時，b=3，4，5，6；

當(dāng)c=3時，b=4，5，6；        當(dāng)c=4時，b=4，5，6；

當(dāng)c=5時，b=5，6；           當(dāng)c=6時，b=5，6，

目標(biāo)事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，

因此方程有實根的概率為

（II）由題意知用隨機變量ξ表示方程實根的個數(shù)得到

ξ=0，1，2    根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到

則，，，

∴ξ的分布列為

  

∴ξ的數(shù)學(xué)期望  

（III）在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x²+bx+c=0有實根，

這是一個條件概率，

記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，

“方程有實根”為事件N，

則，，     ∴