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如圖，已知拋物線C的頂點在原點，開口向右，過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2，過C上一點A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點.

（1）若直線PQ過定點，求點A的坐標；
（2）對于第（1）問的點A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個數；若不能，說明理由.

（1）,（2）一個

解析試題分析：（1）確定拋物線標準方程只需一個獨立條件，本題條件為已知通徑長所以拋物線的方程為.直線過定點問題，實際是一個等式恒成立問題.解決問題的核心是建立變量的一個等式.可以考慮將直線的斜率列為變量，為避開討論，可設的方程為，與聯立消得，則，設點坐標為，則有，代入化簡得：因此，點坐標為，（2）若三角形APQ為等腰直角三角形，則的中點與點A連線垂直于.先求出的中點坐標為，再討論方程解的個數，這就轉化為研究函數增減性，并利用零點存在定理判斷零點有且只有一個.
試題解析：(1)設拋物線的方程為,依題意,,
則所求拋物線的方程為.                  (2分)
設直線的方程為,點、的坐標分別為.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
設點坐標為,則有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直線過定點,即,代入上式得
注意到上式對任意都成立,
故有,從而點坐標為.                (8分)
(2)假設存在以為底邊的等腰直角三角形,由第（1）問可知,將用代換得直線的方程為.設,
由

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點A、B，如果弦的長度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點）。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，短軸的端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點.設弦的中點為，試求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓C1：的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C2的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C1相交于點A、D，與曲線C2順次相交于點B、C，當時，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為,離心率，連接橢圓的四個頂點所得四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設是直線上的不同兩點，若,求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同交點，求實數的取值范圍；
(3)設(2)中直線與雙曲線交于兩個不同點，若以線段為直徑的圓經過坐標原點，求實數的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設雙曲線C：（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

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