Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+3，x∈[1，3]．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，則區(qū)間[1，3]完全在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范圍；
（2）解法1：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，則a＜

x2+2

x

=x+

2

x

在x∈[1，3]上恒成立．構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+

2

x

，求出其最小值，進(jìn)而即可得到a的取值范圍．解法2：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，我們分區(qū)間[1，3]完全在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，右側(cè)和在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)三種情況進(jìn)行分析討論，最后綜合討論結(jié)果即可得到答案．

解答：解：（1）由于f(x)=(x-

a

2

)2+3-

a2

4

，（1）由題意可得

a

2

≤1⇒a≤2．
（2）解法1：由題意得x²-ax+2＞0在x∈[1，3]上恒成立，即a＜

x2+2

x

=x+

2

x

在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)=x+

2

x

，由其圖象可知g（x）在x∈[1，3]上的最小值為2

2

（當(dāng)x=

2

時(shí)取到），故a＜2

2

．
解法2：(x-

a

2

)2+2-

a2

4

＞0在x∈[1，3]上恒成立，
當(dāng)

a

2

≤1時(shí)，f（1）=3-a＞0⇒a≤2；
當(dāng)1＜

a

2

≤3時(shí)，2-

a2

4

＞0⇒2＜a＜2

2

；
當(dāng)

a

2

＞3時(shí)，f（3）=11-3a＞0，此時(shí)無(wú)解，綜上可得a＜2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在遇到二次函數(shù)的參數(shù)問(wèn)題題分析區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，并進(jìn)行分類(lèi)討論，是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．