Question

設(shè)f(x)=log3

1-2sinx

1+2sinx

．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)y=f（x）的定義域和值域．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)f（x），f（-x）之間的關(guān)系來(lái)下結(jié)論即可；
（2）先求出真數(shù)的取值范圍，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出其值域．

解答：解：（1）∵

1-2sinx

1+2sinx

＞0?-

1

2

＜sinx＜

1

2

?kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

6

，k∈Z，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∴f（-x）=log₂

1+2sinx

1-2sinx

=log₂ (

1-2sinx

1+2sinx

)-1=-log₂

1-2sinx

1+2sinx

=-f（x）．
∴故其為奇函數(shù)；
（2）由上得：定義域{x|kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

6

，k∈Z}，
∵

1-2sinx

1+2sinx

=

-(1+2sinx)+2

1+2sinx

=-1+

2

1+2sinx

．
而-

1

2

＜sinx＜

1

2

?0＜1+2sinx＜2?

2

1+2sinx

＞1?-1+

2

1+2sinx

＞0?y=log₃ 

1-2sinx

1+2sinx

的值域?yàn)镽．
∴值域?yàn)镽．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的基本性質(zhì)．判斷函數(shù)的奇偶性的前提應(yīng)該先求定義域．當(dāng)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，是不具有奇偶性的．