Question

定義在R上的增函數y=f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），則
（1）求f（0）；         
（2）證明：f（x）為奇函數；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），變形可得f（0），
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），由（1）可得f（0）=0，即可得0=f（x）+f（-x），可得證明；
（3）根據題意，由f（x）的奇偶性與單調性，可將f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0變形為f（k•3^x）＜f（-3^x+9+2^x），進而可得k＜3x+

2

3x

-1，由基本不等式的性質，可得3x+

2

3x

-1有最小值，令k小于其最小值即可得k的取值范圍．

解答：解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
則f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，則有0=f（x）+f（-x），
即可證得f（x）為奇函數；
（3）因為f（x）在R上時增函數，又由（2）知f（x）是奇函數，
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9+2^x），
即有k•3^x＜-3^x+9^x+2，得k＜3x+

2

3x

-1，
又有3x+

2

3x

-1≥2

2

-1，即3x+

2

3x

-1有最小值2

2

-1，
所以要使f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，只要使k＜2

2

-1即可，
故k的取值范圍是（-∞，2

2

-1）．

點評：本題考查函數的恒成立問題與抽象函數的應用，關鍵是用賦值法求出f（0），進而來判斷函數的奇偶性．